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計算機應用數學-微積分

前敘

筆記內容著重於,計算機與人工智慧領域所應用的數學,目的為快速導讀數理重點脈絡公式,類似於直式的心智圖

目錄

筆記目前整理三個部分

  1. 計算機應用數學-微積分 (研究連續變化、累積與極限現象的數學)
  2. 計算機應用數學-線性代數 (研究向量、矩陣與線性變換的結構與操作)
  3. 計算機應用數學-離散數學(和廣義邏輯學) (研究離散結構的數學,為計算機理論與邏輯基礎)

導數 (derivatives)

表達

y=f(x)y = f(x) f(x)f(x)f(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) ddxf(x)=f(x)\frac{d}{dx} f(x) \quad =f'(x)

極限定義:

f(a)=limxaf(x)f(a)xaf'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

一階導數

找到臨界點

  1. 求出一階導數 f′(x) 並解 f′(x) 找到臨界點(Critical points)
  2. 判斷增減趨勢

在臨界點的左右區間內取不同的 x 值,代入 f′(x) 看結果是正還是負

  • 如果 f'(x) > 0 ,則該區間內遞增
  • 如果 f'(x) < 0,則該區間內遞減
  • 如果 f'(x) = 0,則臨界點是極值點

二階導數

確認臨界點的性質

凹性

(tag: 待補充)

  • 若 f′′(x)>0,函數在該點凹向上,可能為極小值。
  • 若 f′′(x)<0,函數在該點凹向下,可能為極大值。
  • 若 f''(x) = 0,則無法直接判斷,可能是反曲點或鞍點(Saddle point)

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導數運算規則

  • 導數的定義

    • 導數 dudx\frac{du}{dx} 表示 uuxx 變化的瞬時變化率。
  • 微分的定義

    • duduuu 隨著 xx 發生無窮小變化時的變化量,這是導數的線性近似。

    • 可以理解為在極小範圍內,uu 的變化和 xx 的變化是線性相關的。

冪函數

ddxxn=nxn1\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}

對數函數

ddxlnx=1x\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} ddxlogax=1xlna\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} ddxex=ex\frac{d}{dx} e^x = e^x ddxlnx=1x\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} ddxax=axlna\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a eaeb=ea+be^a \cdot e^b = e^{a+b} (ea)b=eab(e^a)^b = e^{ab}

加法法則

ddx(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)

乘法法則(Product Rule)

用於微積分導數的乘法計算,而不是基礎數學的乘法運算

y=f(x)g(x)y = f(x) \cdot g(x) ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)\frac{d}{dx} (f(x) g(x)) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) y=f(x)g(x)+f(x)g(x)y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

商法則(Quotient Rule)

ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}

鏈鎖法則(Chain Rule)

ddxf(g(x))=f(g(x))g(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)

偏微分

// 在深度學習梯度下降時使用到偏微分

例如,考慮一個有兩個變數 f(x,y)f(x,y) 的函數:

f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2

若我們對 x 進行偏微分,我們將 y 視為常數,得到:

fx=2x\frac{\partial f}{\partial x} = 2x

同樣地,若對 y 進行偏微分,我們將 x 視為常數,得到:

fy=2y\frac{\partial f}{\partial y} = 2y

不定積分(Integration)

常數項:

cdx=cx+C\int c\, dx = cx + C

幂函數(n1n \ne -1):

xndx=1n+1xn+1+C\int x^n\, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C

指數函數:

exdx=ex+C\int e^x\, dx = e^x + C

三角函數:

sinxdx=cosx+C,cosxdx=sinx+C\int \sin x\, dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\, dx = \sin x + C

倒數積分

1xdx=lnx+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

代換積分(Substitution Rule)

f(g(x))g(x)dx=f(u)du,u=g(x)\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du, \quad u = g(x)

適用於變數替換 u=g(x)

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係數乘法(Constant Multiple Rule)

kf(x)dx=kf(x)dx\int k f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx

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積分分部公式(Integration by Parts Formula)

udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du

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定積分(definite integral)

基本性質

aaf(x)dx=0\int_a^a f(x) \, dx = 0 abf(x)dx=baf(x)dx\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx

牛頓-萊布尼茲定理

若 F(x) 是 f(x)的不定積分:

abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)