離散數學(和廣義邏輯學)-電腦科學應用數學

前敘

筆記內容著重於，電腦科學與人工智慧領域所應用的數學，目的為快速導讀重點脈絡及公式，類似於直式的心智圖，有助於構思規劃學習路線，或是直接查找應用。

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目錄

筆記目前整理部分

• 微積分
  (研究連續變化、累積與極限現象的數學，應用於函數分析、優化與動態系統建模)

• 線性代數
  (研究向量、矩陣與線性變換的結構與操作，為機器學習與深度學習的核心基礎)

• 離散數學（廣義邏輯學）
  (研究離散結構與邏輯基礎，包含集合論、圖論、布林代數等，支撐演算法設計與計算理論)

• 統計學
  (研究資料分佈、推論與估計，是資料分析與機器學習模型評估的重要工具)

• 幾何學
  (研究形狀、空間關係與度量，在電腦視覺、圖形學與機器人定位中應用廣泛)

• 數學分析
  (研究極限、收斂性與嚴格定義的連續性，是微積分的理論基礎並延伸至泛函分析)

• 機率論
  (研究隨機事件與不確定性，為貝葉斯推論、馬可夫過程及強化學習等提供理論支撐)

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程式函數與數學

程式中陣列資料，或是資料集都是集合論(set theory) 的表現

例如: 一個陣列物件視為一個集合(set)，裡面的資料視為元素(object)

U = [1, 2, 3, 4, 5]

累加器

程式迴圈連續加法為$\sum$的表現

例如:

將U = [1, 2, 3]陣列元素相加，i=起始位子(二進制是0為起點)，3=終點目標，，

$$\sum_{i=1}^{3} U_i = 1 + 2 + 3 = 6$$

let Sum = 0;
for (let i = 0; i < U.length; i++) {
    Sum += U[i];  // 將每個元素累加
}

離散數學

Σ（總和，Summation）

從 $i=m$ 加到 $i=n$

$$\sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n$$

Π（乘積，Product）

從 $i=m$ 乘到 $i=n$

$$\prod_{i=m}^{n} a_i = a_m \times a_{m+1} \times \cdots \times a_n$$

集合論(set theory)

集合與元素(set and object)

$$A = \{1, 2\}, B = \{1, 2\}$$

表示符號

$N$ 自然數集合

自然數集合可以表示為：

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$$

$Z$ 整數集合

整數集合包括所有的正整數、負整數和零：

$$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$

$R$ 實數集合

實數集合包括所有的有理數和無理數：

$$\mathbb{R} = \text{所有可表示的實數}$$

$U$ 全集

代表 全集，即在特定問題範疇內，包含所有可能元素的集合。

$| A |$

A 集合的元素各數

$$A = \{0, 1\} , | A |= 2$$

$∀$ （Universal Quantifier 全稱量詞）

唸作「For all」，表示“對所有”或“對每一個”某個範圍內的元素均成立。

$$\forall x \in \mathbb{N}, \quad x + 1 > x$$

$|$ (Such That 或 Divides)

用來表示“滿足條件”的元素

例如: 從所有實數中，挑出那些滿足 $x > 0$ 這個條件的元素，組成集合 $A$

$$A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$$

$P(A)$ (Power Set)

給定集合 A，幂集 P(A) 是 A 的所有的子集的集合，包括空集和 A 本身

$$A = \{1, 2\}, \quad P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$$ $$P \iff Q$$

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子集關係

$\in$ (Element of set)

表示單一元素是某集合的成員

元素屬於集合：

$$x \in A$$

元素不屬於集合：

$$y \notin A$$

$\subseteq$ 子集（Subset）

子集是寬鬆的定義，表示集合 $A$ 的所有元素都在集合 $B$ 中，可以等於 $B$：

$$\emptyset \subseteq A, \quad \{a\} \subseteq A, \quad \{b\} \subseteq A, \quad \{a, b\} \subseteq A$$ $$A \subseteq B$$

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$\subset$ 真子集（Proper Subset）

真子集是嚴謹的定義，表示集合 $A$ 的所有元素都在集合 $B$ 中，且 $A \neq B$：

$$A \subset B \quad \text{當 } A \neq B$$

• 若 $A = B$，則不成立：

$$A \not\subset B$$

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集合操作

使用例子

$$A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{3, 4, 5, 6\}$$

$A \cup B$ 聯集

聯集包含所有屬於集合 A 或集合 B 的元素。

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ or } x \in B\}$$ $$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$$

$A \cap B$ 交集

交集包含所有同時屬於集合 A 和集合 B 的元素。

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \in B\}$$ $$A \cap B = \{ 3\}$$

$A - B$ 差集

差集包含所有屬於集合 A 但不屬於集合 B 的元素。

$$A - B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \notin B\}$$ $$A - B = \{1,2\}$$

$A^c$ 補集

補集包含全集中$U$不屬於集合 A 的所有元素。

$$A^c = \{x \mid x \notin A\}$$ $$U = \{1, 2, 3, 4\} ， A = \{1, 2\}，則 A^c = \{3, 4\}$$

排列組合

排列

考慮順序，重n個元素中排列進k個位子

1. 不重複選擇排列

$${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$$

1. 可重複選擇排列

$$\displaystyle n^{k}$$

組合

考慮可能的組合，重n個元素中排列進k個位子

$${\displaystyle C_{k}^{n}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$$ $${\displaystyle C_{k}^{n}= {n \choose k}= \frac {P_{k}^{n}}{k!}= \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}= \frac {n!}{k!(n-k)!}}$$