微積分-電腦科學應用數學

前敘

筆記內容著重於，電腦科學與人工智慧領域所應用的數學，目的為快速導讀重點脈絡及公式，類似於直式的心智圖，有助於構思規劃學習路線，或是直接查找應用。

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目錄

筆記目前整理部分

• 微積分
  (研究連續變化、累積與極限現象的數學，應用於函數分析、優化與動態系統建模)

• 線性代數
  (研究向量、矩陣與線性變換的結構與操作，為機器學習與深度學習的核心基礎)

• 離散數學（廣義邏輯學）
  (研究離散結構與邏輯基礎，包含集合論、圖論、布林代數等，支撐演算法設計與計算理論)

• 統計學
  (研究資料分佈、推論與估計，是資料分析與機器學習模型評估的重要工具)

• 幾何學
  (研究形狀、空間關係與度量，在電腦視覺、圖形學與機器人定位中應用廣泛)

• 數學分析
  (研究極限、收斂性與嚴格定義的連續性，是微積分的理論基礎並延伸至泛函分析)

• 機率論
  (研究隨機事件與不確定性，為貝葉斯推論、馬可夫過程及強化學習等提供理論支撐)

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導數 (derivatives)

表達

$$y = f(x)$$ $$f(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)$$ $$\frac{d}{dx} f(x) \quad =f'(x)$$

極限定義：

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

一階導數

找到臨界點

1. 求出一階導數 f′(x) 並解 f′(x) 找到臨界點(Critical points)
2. 判斷增減趨勢：

在臨界點的左右區間內取不同的 x 值，代入 f′(x) 看結果是正還是負

• 如果 f'(x) > 0 ，則該區間內遞增
• 如果 f'(x) < 0，則該區間內遞減
• 如果 f'(x) = 0，則臨界點是極值點

二階導數

確認臨界點的性質

凹性

(tag: 待補充)

• 若 f′′(x)>0，函數在該點凹向上，可能為極小值。
• 若 f′′(x)<0，函數在該點凹向下，可能為極大值。
• 若 f''(x) = 0，則無法直接判斷，可能是反曲點或鞍點(Saddle point)

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導數運算規則

• 導數的定義

  • 導數 $\frac{du}{dx}$ 表示 $u$ 隨 $x$ 變化的瞬時變化率。

• 微分的定義

  • $du$ 是 $u$ 隨著 $x$ 發生無窮小變化時的變化量，這是導數的線性近似。

  • 可以理解為在極小範圍內，$u$ 的變化和 $x$ 的變化是線性相關的。

冪函數

$$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$$

對數函數

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$ $$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$$ $$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$ $$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$ $$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$ $$e^a \cdot e^b = e^{a+b}$$ $$(e^a)^b = e^{ab}$$

加法法則

$$\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$$

乘法法則（Product Rule）

用於微積分導數的乘法計算，而不是基礎數學的乘法運算

$$y = f(x) \cdot g(x)$$ $$\frac{d}{dx} (f(x) g(x)) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$ $$y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$

商法則（Quotient Rule）

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

鏈鎖法則（Chain Rule）

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$$

偏微分

// 在深度學習梯度下降時使用到偏微分

例如，考慮一個有兩個變數 $f(x,y)$ 的函數：

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

若我們對 x 進行偏微分，我們將 y 視為常數，得到：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$$

同樣地，若對 y 進行偏微分，我們將 x 視為常數，得到：

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$$

不定積分（Integration）

常數項：

$$\int c\, dx = cx + C$$

幂函數（$n \ne -1$）：

$$\int x^n\, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$

指數函數：

$$\int e^x\, dx = e^x + C$$

三角函數：

$$\int \sin x\, dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\, dx = \sin x + C$$

倒數積分

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$

代換積分（Substitution Rule）

$$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du, \quad u = g(x)$$

適用於變數替換 u=g(x)

係數乘法（Constant Multiple Rule）

$$\int k f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx$$

積分分部公式（Integration by Parts Formula）

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

定積分（definite integral）

基本性質

$$\int_a^a f(x) \, dx = 0$$ $$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$$

牛頓-萊布尼茲定理

若 F(x) 是 f(x)的不定積分：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$