數學分析

前敘

筆記內容著重於，電腦科學與人工智慧領域所應用的數學，目的為快速導讀重點脈絡及公式，類似於直式的心智圖，有助於構思規劃學習路線，或是直接查找應用。

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目錄

筆記目前整理部分

• 微積分
  (研究連續變化、累積與極限現象的數學，應用於函數分析、優化與動態系統建模)

• 線性代數
  (研究向量、矩陣與線性變換的結構與操作，為機器學習與深度學習的核心基礎)

• 離散數學（廣義邏輯學）
  (研究離散結構與邏輯基礎，包含集合論、圖論、布林代數等，支撐演算法設計與計算理論)

• 統計學
  (研究資料分佈、推論與估計，是資料分析與機器學習模型評估的重要工具)

• 幾何學
  (研究形狀、空間關係與度量，在電腦視覺、圖形學與機器人定位中應用廣泛)

• 數學分析
  (研究極限、收斂性與嚴格定義的連續性，是微積分的理論基礎並延伸至泛函分析)

• 機率論
  (研究隨機事件與不確定性，為貝葉斯推論、馬可夫過程及強化學習等提供理論支撐)

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序列與級數

無窮等比級數收斂與發散

定義

• 首項（first term）：$a$
• 公比（common ratio）：$r$
• 項數（number of terms）：$n$（有限時）

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無窮等比級數收斂

對公比 $-1 < r < 1$ 的無窮等比級數：

$$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}$$

這表示每項 $ar^k$ 隨著 $k \to \infty$ 趨近 0，因此總和收斂。

無窮等比級數收斂推導（極限展開））

對無窮等比級數，首項 $a$，公比 $r$，且 $-1 < r < 1$：

1. 先寫出前 $n$ 項和：

$$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k$$

2. 使用等比級數求和公式（有限項）：

$$S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}, \quad r \neq 1$$

3. 取極限 $n \to \infty$，且 $|r| < 1$ 時：

$$\lim_{n \to \infty} (1 - r^n) = 1 - 0 = 1.$$

$\lim_{n \to \infty} (1 - r^n) = 1$ 分子帶入

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{a}{1-r}$$

因此，無窮等比級數收斂總和為：

$$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}$$

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無窮等比級數發散

對公比 $r \le -1$ 或 $r \ge 1$ 的無窮等比級數：

$$\sum_{k=0}^{\infty} ar^k \text{ 發散，不存在有限和}$$